1.1.3. BASE OCTAL Y HEXADECIMAL

Sistemas de numeración Octal

El sistema de numeración octal es muy importante en el trabajo que se realiza en una computadora digital. Este tiene una base de ocho, lo cual significa que tiene ocho posibles dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7. Así, cada digito de un numero octal puede tener cualquier valor del 0 al 7.

Las posiciones de los dígitos en un sistema octal tienen los siguientes valores:

Conversión de octal a decimal. Por tanto, un numero octal puede convertirse fácilmente a su equivalente decimal multiplicando cada digito octal por su valor posicional. Por ejemplo

372 8=3 X (82) + 7 X (81) + 2 X (80)
= 3 X 64 + 7 X 8 +2 X 1
=25010

Consideremos un ejemplo:

24.68= 2 x (81) + 4 X (80) + 6 X (8-1)
=16 + 4 +.125
=20.75 10

Conversión de decimal a octal.

Un entero decimal se puede convertir a octal con el mismo método de división repetida que se uso en la conversión de decimal a binario, pero con un factor de división de 8 en lugar de 2. A continuación se muestra un ejemplo de esto

266/8 = 33 + residuo de 2
33/8 = 4 + residuo de 1
4/8 = 0 residuo de 4
26610=4128

Nótese que el primer residuo se transforma en el digito menos significativo (LSD) del número octal y el último residuo se convierte en el digito más significativo (MSD).
Si se emplea la calculadora para realizar las divisiones del proceso anterior, el resultado incluirá una fracción decimal en lugar de un residuo. Sin embargo el residuo puede obtenerse multiplicando la fracción decimal por 8. Por ejemplo, 266/8 produce 33.25. el residuo se convierte en 0.25 X 8 = 2. En forma similar, 33/8 dará como resultado 4.125 y el residuo se transforma en 0.125 X 8 =1

Conversión de octal a binario.

La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad con que se puede realizar la conversión entre números binarios y octales. La conversión de octal a binario se lleva a cabo convirtiendo cada digito octal en su equivalente binario de 3 bits. Los ocho dígitos posibles se convierten como se indica a continuación.

Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se convierte a binario, convirtiéndolo de manera individual. Por ejemplo podemos convertir 4728 a binario de la siguiente manera:

4 7 2

4=100
7=111
2=010

Por tanto, el numero octal 472 es equivalente a binario 100111010. Para dar otro ejemplo, consideremos convertir el número 54318 a binario:

5 4 3 1

5 =101
4=100
3=101
1=001

Por tanto, 54318 = 101100011001 2

Conversión de binario a octal.

La conversión de enteros binarios a octales es simplemente la operación inversa del proceso anterior. Los bits del numero binario se agrupan en conjunto de tres comenzando por el LSB.

Luego, cada grupo se convierte a su equivalente octal. Ejemplo:

100111010

100 = 4
111= 7
010=2

Nos da 472

Algunas veces el número binario no tendrá grupos pares de 3 bits. En esos casos, podemos agregar uno o dos ceros a la izquierda del MSB del numero binario a fin de completar el último grupo.

Conteo Octal.

El digito octal mayor es 7, así que cuando se cuenta en octal, se incrementa a un digito hacia arriba de 0 a 7. Una vez que llega al 7, se regresa a 0 en el siguiente conteo y ocasiona que se incremente el digito de la izquierda. Esto se ilustra en las siguientes secuencias de conteo octal:

0,1,2,3,4,5,6,7 siguiendo 10,11,12,13,14,15,16,17 siguiendo 20 etc… hasta 77 después va el 100,101…etc.

Con N dígitos octales podemos contar de 0 a 8N-1 , lo que da un total de 8 N diferentes conteos. Por ejemplo, con tres dígitos octales podemos contar de 0008 a 7778, que da un total de 83 = 51210 diferentes números octales.

Utilidad del sistema octal. La facilidad con que pueden hacerse conversiones entre el sistema octal y el binario hace que el sistema octal sea atractivo como un medio taquigráfico de expresión de números binarios grandes. En computación, son comunes los números binarios con 64 bits. Cuando trabajamos con una gran cantidad de números binarios de muchos bits, es mas conveniente y eficaz escribirlos en octal y no en binario. Sin embargo, recordemos que los circuitos y sistemas digitales trabajan estrictamente en binario; usamos el sistema octal solo por conveniencia de los operadores del sistema.

Convertir

17710 a octal.
177/8 = 22 residuo 1
22/8= 2 residuo 6
2/8 = 0 residuo 2

Nos da 17710 = 2618 =0101100012

Sistema de numeracion hexadecimal

El sistema hexadecimal emplea la base 16. Así, tiene 16 posibilidades símbolos digitales. Utiliza los dígitos del 0 al 9 mas las letras A, B, C, D, E y F como sus 16 símbolos digitales. La tabla siguiente muestra las relaciones entre los sistemas hexadecimal, decimal y binario. Nótese que cada digito hexadecimal representa un grupo de cuatro dígitos binarios. Es importante recordar que los dígitos hex (abreviatura de hexadecimal) de A a F son equivalentes a los valores decimales de 10 a 15.

Conversión de hexadecimal a decimal

Un número hex se puede convertir a su equivalente decimal utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos hex tiene un valor que es una potencia de 16. El LSD tiene un valor de 160 = 1; el siguiente digito en secuencia tiene un valor de 161 = 16; el siguiente tiene un valor de 162= 256 y así sucesivamente. El proceso de conversión se demuestra en los ejemplos que siguen:

35616 = 3x162 + 5 x 161 + 6x160
=768 + 80 + 6
=85410

2AF16 = 2X162 + 10x161 + 15x160
=512 + 160 + 15
=68710

Nótese que en el segundo ejemplo el valor 10 se sustituyo por A y el valor 15 por F en la conversión al sistema decimal.

Verifica que 1BC216 es igual a 710610

Conversión de decimal a hexadecimal

Recuerde que efectuamos la conversión de decimal a binario por medio de la división repetida entre 2 y de decimal a octal por medio de la división repetida entre 8. De igual manera la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio de la división repetida entre 16. Ejemplos

Convierta 42310 a hexadecimal.

423/16 = 26 residuo de 7
26/16 =1 residuo de 10
1/16 = 0 residuo de 1
42310 = 1A716

Convierta 21410 a hexadecimal.

214/16 = 13 residuo de 6
13/16 = 0 residuo de 13
21410 = D616

Conversión de hexadecimal a binario.

Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como método “taquigráfico” en la representación de números binarios. Es una tarea relativamente simple la de convertir un numero hexadecimal en binario. Cada digito hexadecimal se convierte en su equivalente binario en bits. Esto se ilustra así

9F216 =
9 = 1001
F = 1111
2= 0010

Verificar BA616 = 1011101001102

Conversión de binario a hexadecimal.

Esta conversión es exactamente la operación inversa del proceso anterior. El numero binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada grupo se convierte a si digito hexadecimal equivalente. Cuando es necesario se añaden ceros para completar un grupo de cuatro bits.

11101100110 =

0011= 3
1010 = A
0110 = 6

A fin de efectuar estas conversiones entre hexadecimal y binario es necesario convertir los números binarios de 4 bits (000-1111) y sus dígitos hexadecimales equivalentes. Una vez que se conozcan bien, se pueden realizar rápidamente las conversiones sin tener que realizar operaciones. Esta es la razón por la cual los sistemas hexadecimales y octal son tan útiles en la representación de números binarios grandes.

Verificar
10101111

Conteo hexadecimal cuando se cuenta en hexadecimal, cada posición de los dígitos se puede incrementar (en 1 unidad) de 0 a F. una vez que una posición del digito llega al valor F, se vuelve a poner en 0 y se incrementa en la siguiente posición. Esto se ilustra en las secuencias de conteo en hexadecimal.

38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41, 42.
6F8, 6F9, 6FA, 6FB, 6FC, 6FD, 6FE, 6FF, 700


Convertir los siguientes números decimales a hexadecimales.

378/16=23 RESIDUO DE 10
23/16 = 1 RESIDUO DE 17
1/16 =RESIDUO DE 1
17A = 000101111010.

B2F16 en octal

B2F16 = 1011 0010 1111
= 101 100 101 111 = 5 4 5 7 8